C'è qualche prof di matematica tra noi?

Se ci fosse gli chiederei un parere su di una certa questione, intorno all'ultimo teorema di Fermat scoperto da Wiles e dimostrato con argomentazioni ben più ponderose di quelle che aveva in mente Pierre de Fermat, che neppure conosceva quegli sviluppi della matematica che sono serviti a Wiles per arrivare alle conclusioni.

O Fermat aveva solo una idea sbagliata della soluzione, oppure Wiles ha fatto un lungo giro, per ritrovarsi solo dietro l'angolo.

Venti persone che hanno letto, e non c'è neppure un Prof di matematica tra loro. Ahi ahi ahi!

C'è almeno qualche semplice appassionato di matematica, che si ricordi cosa fosse quell'ultimo teorema di Fermat?

Simon Singh ha scritto il libro: L'ultimo teorema di fermat, che ho letto - qualche tempo fa - e che ha generato in me quel sacco di interrogativi a cui ho cercato di dare le risposte di cui vorrei parlarvi.


Un saluto
Enrico

Chioso per i profani: Fermat dice che non esistono soluzioni intere della seguente espressione:

Ciò solo però per n intero positivo e >2, perchè nei due casi precedenti, 1, 2 l'espressione ha invece soluzione:




che esprime il più familiare teorema di Pitagora anch'esso dotato di infinite soluzioni.
Basti pensare alla terna 3,4,5, ed ai suoi infiniti multipli...

Per un po' di mesi, tornando a casa col treno e dovendo impiegare il tempo, mi sono appassionato invece alla questione della dimostrazione del teorema di Pitagora, chiedendomi se ve ne fosse una sola o fossero infinite. Non sono riuscito a dimostrarlo teoricamente, ma ho scoperto ogni giorno che è possibile inventarne una nuova semplicemente ricorrendo alla geometria, scomponendo il triangolo di base ed i tre quadrati in una quantità ogni volta diversa di triangoli e cercando le similitudini con Euclide.

E a quanto ho capito sembra che sia stata proprio la geometria a fornire uno dei contributi che hanno portato alla recente dimostrazione del problema di Fermat, associando l'espressione all'equazione di un'ellisse...

Pensavo di aver trovato qualche cosa che potesse sembrare una dimostrazione semplice, alla Fermat, ma dubito che fosse una dimostrazione.
 
Per il cubo: se supponi che il tuo triangolo rettangolo abbia come lati, una terna pitagorica a,b,c, la cui somma dei quadrati sui cateti è uguale all'area costruita sull'ipotenusa, adesso prova ad estrudere quei quadrati, facendoli diventare dei parallelepipedi di pari altezza. La somma dei volumi dei parallelepipedi costruiti sui cateti sarà pari al volume del parallelepipedo costruito sull'ipotenusa. Ma appena intorno a quel triangolo costruisci dei cubi, ti rendi visivamente conto della impossibilità di ottenere quell'uguaglianza.
E' possibile fare un ragionamento simile anche senza le figure, con i numeri, ma alla fine il risultato non convince. Lasciamo a Wiles la medaglia per aver ottenuto quel bel risultato.

Geniale e semplice. Il primo problema è però quello di sviluppare il ragionamento in forma matematica, il secondo quello di estenderlo ad n>3... Direi che intuitivamente, se vale per n=3, a maggior ragione varrà per n>3 in quanto le sproporzioni fra i "volumi" iperspaziali (dello spazio a n dimensioni, intendo) aumenteranno in ragione della potenza crescente.

Se fosse poi possibile dimostrarlo in modo iterativo per n=4, n=5 ecc, si potrebbe forse applicare il metodo dell'induzione totale. Ma dal momento che sono centinaia di anni che i matematici vi si scervellano sopra, è probabile che qualcuno vi avrà già pensato...

Geometria.
Nel primo caso, qualunque sia il lato scelto per determinare l'altezza dei volumi, abbiamo un cubo e due p.pedi: possibile, quindi, che due cubi sommati facciano un p.pedo o che un cubo e un p.pedo facciano un p.pedo.

Nel secondo caso si elimina il valore comune (altezza) e i tre fattori sono resi totalmente indipendenti l'uno dall'altro: essendo diversi tra loro produrranno volumi comunque diversi, con un rapporto reciproco sempre regolato secondo le proprietà dell'originario triangolo rettangolo, tali cioè che la somma dei due lati minori non sarà mai uguale al lato maggiore.

Il problema è, come dice Arzak, di rendere tutto ciò in termini matematici: i volumi, espressi in numero, potrebbero sommarsi a prescindere dalla forma geometrica, per un determinato valore di n.
Immagino che questo problema sia collegabile alla proprietà delle potenze.

Un momento. Anche ammettendo che si riesca a dimostrare lo spunto di Einrix, cosa forse nemmeno troppo ardua ragionando per diseguaglianze e non per eguaglianze, resta il piccolo dettaglio che la dimostrazione sarebbe valida solo per terne pitagoriche di numeri abc. Resterebbe quindi da dimostrarlo per le altre infinitamente infinite terne di numeri qualsiasi...
Rassegnamoci: anche per questa volta niente Nobel.

Il mio ragionamento, che come ho anticipato, ritengo non sia corretto, é questo:


Ma dubito che sia davvero una dimostrazione accettabile. Per questo sono alla ricerca di un prof. di matematica che mi faccia rilevare con maggiore evidenza (un po lo vedo anche io) dove sia l'errore.

Grazie per la vostra collaborazione.